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《流浪地球》的科普 精選

已有 7800 次閱讀 2019-2-10 14:32 |個人分類:反民科|系統分類:科普集錦| 流浪地球

我算得上是個科幻迷,尤其喜歡星際旅行之類的科幻。前天看完《流浪地球》之后,覺得應該做個科普。《流浪》電影的主要情節是,在不久的未來,科學家發現太陽已經出現異常,很快會膨脹吞沒地球。為此,人類制造安裝了大量用核聚變為動力的噴射發動機,計劃把地球推出太陽系。其中一個步驟是在木星處進行一次反彈加速,以逃離太陽系。但由于某些誤差,地球向木星借力反彈時離木星太近,只有7萬多公里,如果距離再近地球會在木星的引潮力下土崩瓦解。地球人啟動全部發動機反噴也無法改變這一結局。地球的大氣也正被木星吸去。此時,電影中一個一看就不喜歡讀書的少年突發奇想:木星上主要是氫氣,地球大氣有氧氣,如果點個火,木星氫氣與地球氧氣反應生成水而爆炸,就可以把地球推開了不是(注一)。這少年的爸爸是一個飛船上的宇航員,聽了兒子的高招,毅然違抗機器指令帶著30萬噸燃料的飛船朝木星撞去。電影里結果當然是成功了。老爹的壯烈犧牲加上兒子的“智慧”,拯救了全人類及其家園。

看完電影之后在電視里看到這部電影編導的采訪,說希望這個電影能激發青少年學習科學的熱情。這個想法倒是不錯。我也就奉獻一下所學的中學物理,科普一下。

第一個問題,借木星反彈加速是怎么回事?其實這就像是朝著開過來的汽車扔一個皮球反彈。假設皮球速度是每秒5米,汽車速度為每秒10米,那么反彈回來的皮速度是多少呢? 這個問題從汽車角度看很容易算出來。從汽車上看,汽車自己沒動,皮球以15米/秒的速度朝汽車飛來,皮球撞在汽車上然后彈性反彈回去,相對汽車離開的速度也是15米/秒。但從地面看來,皮球的速度應該皮球相對于汽車的速度加上汽車的速度,因此是 15+10=25 ( 米/秒)。類似的,如果一個物體朝木星迎面飛去,然后繞半圈返回,那么它的速度會增加,這個增加量是木星速度的兩倍。

木星的速度是多少呢?我們知道陽光從太陽到地球需要 8分20秒(500秒),從這個我們可以算出地日距離。地球公轉一圈為一年,地球速度約為(圓周長/除以一年):500 x 3 x 10^5 * 2 * 3.14/ (365*24*3600) = 29.87 (km/s)。

木星到太陽的距離約為地日距離的5.2 倍。根據牛頓萬有引力的平方反比率,以及圓周運動的加速度關系,我們有 $ \frac{v^2}{r} = GM_{s} \frac{1}{r^2}$,因此行星的速度與距離的平方根成反比。因此,木星的速度為:$29.87/\sqrt{5.2} \approx 13.1$ (km/s)。通過木星反彈,我們可以獲得 26.2 公里每秒的速度增加。這個速度在木星軌道處足以掙脫太陽引力,出走太陽系了。

《流浪》電影中提到洛熙極限(ROCHE limit),說如果地球離木星距離小于這個數值,就會被木星引潮力撕裂。這是怎么回事呢?所謂引潮力就是不同距離上引力的差。當地球靠近木星時,面朝木星處受到木星引力大,而地球中心處受到木星引力小,這個差就是引潮力。當這個引潮力大于地心引力時,地面上的東西靠地心引力就無法呆在地球上了,地球也就開始碎裂。根據這個條件,我們可以計算一下這個洛熙極限是多少。


引潮力等于地心引力方程是:


 $GM_j \left[ -\frac{1}{d^2} + \frac{1}{(d-r)^2}\right] = GM_e \frac{1}{r^2}$


左邊是木星引潮力,右邊是地表的地心重力; M_j 是木星質量,M_e 是地球質量,r 為 地球半徑,d 即為 洛熙極限。順便在計算機上算下。


$M_j/M_e \left[ -\frac{1}{d^2} + \frac{1}{(d-r)^2}\right] =  \frac{1}{r^2}\\ \frac{1}{d^2 - 2dr +r^2} - \frac{1}{d^2} = \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ \frac{1}{d^2 (1-2r/d + r^2/d^2)} - \frac{1}{d^2} =  \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ \frac{1}{d^2}( 1+ 2r/d) -\frac{1}{d^2} =  \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ 2r/d^3 = \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ d = r  ( 2 M_j/Me)^{1/3} $

上面的推導中假定了 d 遠大于 r。可見,洛熙極限是 地球半徑乘以 木星地球質量比二倍的立方根。木星質量為地球的318倍,因此,木星 Roche 極限距離約為 地球半徑的 8.6 倍 (2 x 318 的立方根),地球半徑約 6400 公里,相應的 洛熙極限約 5萬5千公里。如果地球距離木星小于這個數值,地球自身引力 無法把地球抱成一團,就會散架成為一塊塊的石頭了。

《流浪》中出現地球大氣被木星吸去的現象,這是可能的。雖然大氣跟著地球一起在木星引力下自由落體運動,但是木星引力使面對木星一面的地面物體更容易逃逸出地球,空氣中的速度較大的分子就有可能飛出地球而飛向木星。下面我描述一下接下來的基本物理過程。

當地球離木星足夠近時,地球大氣頂層速度較高的空氣分子可能逃逸出地球,向木星墜落。地球空氣分子的速度大概多大呢?空氣分子的平均動能為 3/2 KT,由此可以在根據動能公式計算速度。但不經過計算,我們也可以知道個大概,空氣分子平均速度比聲音的速度稍高一些,后者是300米每秒左右,所以空氣分子的平均速度也就500米每秒左右。其中那些速度較高的分子最先逃逸出地球,地球上剩下的空氣分子就是速度低的,空氣也就會越來越冷。那些逃逸出去的分子在木星的引力下加速下落,到達木星表面時速度會達到每秒鐘數十公里。這么快的空氣分子射入木星大氣,其動能轉化為熱能,高速氧氣分子有足夠的能量引發與木星大氣里的氫分子的化學反應,將后者氧化而生成水。這跟人造衛星在地球大氣層墜落會燒毀是一個道理。因此,射入木星的地球氧氣分子立刻就會消耗掉,而不會積累起來。當然,即使地球的氧氣分子進入木星大氣,而且沒有與氫氣反應,也不會呆在一塊,而是會迅速擴散開來。地球那點空氣跟木星大氣比微不足道、少得可憐,立刻如泥牛入海無影無蹤。所以,實際上根本不存在地球氧氣在木星積累、木星氫氣大爆炸的條件。

但即使氧氣跑到木星上神奇地聚集在一起跟木星氫氣按照H2O 比例混合,點燃后木星氫氣大爆炸,這個爆炸的沖擊波也不可能通過7萬公里的真空到達地球。沖擊波是運動物質攜帶著動量沖過去。木星上的爆炸要傳到7萬公里萬的空間外(忽略微不足道的光壓)必須有物質被加速到足夠的速度,使它能沖出木星引力的束縛,沖到電影里7萬公里外的地球時還有余速。氫與氧反應是化學反應,能量很低,根本無法把水分子或者其他分子加速到每秒幾十公里的速度。這個不用計算根據經驗也都知道了。平時我們點爆氫氣球,在幾米距離之外就沒有什么感覺了。另外,火箭要用幾百噸燃料才能把幾噸的載荷推到地球軌道上也說明了這一點。如果計算,氫氧反應釋放的能量是3個電子伏,即使把這個能量全部給一個水分子,速度也不過千米每秒的量級。何況,化學反應釋放的能量在非封閉而且環境透明的情況下,大部分以光的形式輻射出去了。

為什么光壓可以忽略呢?因為光的能量等于其動量乘以光速。或者反過來說,光的動量等于其能量除以光速。化學反應產生的那點能量用這個光速一除,所攜帶的動量就非常小了。(注二)


注一:


《流浪地球》一段與美國1968年的大片《2001 A  Space Odyssey》關鍵情節幾乎雷同。《2001》電影中也是在木星附近,兩名宇航員覺得計算機叛變,決定關閉機器,但計算機察覺,在他們出艙時殺死其中一人,另一人則費力爬到計算機核心,拔出插卡,計算機被關閉后,發現它原來在執行一起秘密使命。在1984年的續集 《2010 第一次接觸》中,木星發生核聚變反應成為第二個太陽,強大的爆炸沖擊著飛船。《流浪》幾乎照抄、挪用了這些情節。


注二:


我們把地球氧氣跟氫氣混合就在地球上同時進行定向爆炸怎樣?我們可以滿打滿算,假設地球上的全部氧氣同時跟木星上的氫氣混合引爆,看能產生什么效果。為此,我們先計算地球上的氧氣量。

地球地面大氣壓 P 約為每平方厘米一公斤,也就是一平方厘米的面積上壓著一公斤空氣。地球空氣重量為 這個壓力乘以地球表面積:

$m_a = 4\pi r^2 P $


代入地球半徑 r = 6400 km。 我們得出空氣質量約為:4 * 3。14 * (6400*10^5)^2 * 1 = 5。15 x 10^18 (kg) 。設20%質量為氧氣。這看起來是一個巨大的數字。


但是讓我們計算一下地球的質量,根據牛頓萬有引力定律,地表重力加速度為:


g = GM/r^2 


因此,M = g * r^2 /G = 9.8* (6400*10^3)^2 /6.67*10^-11 = 6 * 10^(12+11) = 6 * 10^24 (kg) 。可見,地球空氣質量只有地球質量的百萬分之一。其中氧氣只有地球質量的500萬分之一。要產生H2O, 對應的氫氣質量只有地球質量的 16/2 * 500 = 4000 萬分之一。需要進一步計算嗎?我們打個準確的比方。一個含一克氫的氫氣球爆炸,能撼動 4000萬克,也就是40噸的鐵球嗎?如果木星、地球沒法實驗,這個一克氫氣對40噸鐵球的實驗是可以做的。更何況,如果是挨著地球進行爆炸,地球也許會震動若干微米,但隨后這些爆炸物掉下來,一切又復位了。就像我往上一跳,地球開始會往下退,等我落地,互相吸引下又回到了之前的狀態。



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