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騰訊分分彩開獎歷史—劉瑞祥:有趣的“圓之吻”,有趣的尺規作圖 - 孫冰的博文

已有 896 次閱讀 2019-3-14 12:15 |個人分類:數學|系統分類:人文社科

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  莫海亮老師的這本《圓之吻——有趣的尺規作圖》,真是一本有趣的書。

  大家知道,尺規作圖向來是平面幾何里比較容易讓人產生興趣的內容,而這本書匯集了各種尺規作圖的內容,由淺入深地給出作圖方法,真不錯。那么,到底這本書有多有趣呢?

  首先,單從目錄上看就足以給我們帶來驚喜了。這本書不但有普通的尺規作圖問題,還包括了許多“高級”問題,比如著名的“阿波羅尼奧斯問題”——給出三個幾何元素(可能是點、直線、圓),求作過已知點且與直線、圓相切的圓,按照所給元素可以分為十個子問題。這是古希臘數學家阿波羅尼奧斯提出的問題,難度較大,主要是一來需要考慮點、線、面的各種位置關系,比如其中的“第十問題(圓圓圓)”包括四十九種拓撲結構,進一步可以劃分為一百零一個小問題;二來有些作圖頗不容易。作者對每個子問題都詳細地進行了進一步的劃分,然后每個子問題給出了代表性的解答。作者還對難度更大的馬爾法蒂問題的推廣進行了探索。具體這是什么問題呢?看了書你就會知道。

  作為一本講解尺規作圖的科普書,書里還討論了進一步限制作圖工具下的許多作圖方法。比如只用單規甚至銹規,或者是短尺等工具。另外還有一般的書里沒有講到的作圖工具的擴展。比如我們一般使用的尺子是所謂的“單邊尺”,也就是只能用尺子的一條邊,而實際的尺子都是有刻度的長矩形。書里介紹了諸如雙邊尺、直角尺、刻度尺等工具。另外本書還討論了火柴棒、折紙、包絡線等作圖,精彩多多。

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  其次,書里對許多作圖內容都給出了多種作法。就拿簡單的“角平分線”作圖來說,書里給出了七種方法,這可能會讓很多人感到意外。等分線段有十一種作法,而普通人可能只知道其中的一兩種。正十七邊形作法給出了四種,正五邊形作法居然達到了驚人的二十四種。

  前面所說的只是常規的尺規作圖解法。而更值得指出的是,對于單規、單尺、銹規作圖,作者不是只簡單地討論了一些簡單情形,而是極為深入。比如單規作圖部分列出了十二種等分線段的方法,三種正五邊形作法,兩種單尺作正五邊形作法,四種銹規正三角形作法。另外書里還給出了單規及單尺(帶一個已知圓心的圓)作正十七邊形的方法,是非常值得一閱的難得資料。有了這本書,許多問題就不用在網上費盡心機的搜索和查找了。

腾讯分分彩  第三,本書的內容和排版都經過了精心設計。眾所周知,尺規作圖歷史悠久,從《幾何原本》算起有兩千多年了。本書對相關的歷史進行了一定的考訂,特別是關于前面提到過的“阿波羅尼奧斯問題”等內容,相信能引起讀者的興趣。另一方面,有的作圖問題比較復雜,為了能讓讀者看清圖示,本書采取了彩色印刷,各種圖線的區別一目了然,不會讓人感覺“分不清”,充分體現了作者的匠心。

  作為一本科普書,本書對內容的選擇充分注重了趣味性。因此沒有包括所有的尺規作圖問題。其中沒有包括而又比較重要的是用幾何方法解二次方程,這個問題的幾何表示是這樣的:求作一條線段,使這條線段為邊長的正方形加上(或減去)一個以這條線段和另一已知線段為鄰邊的長方形的面積等于一個已知直線形的面積,即求x,使x2±bx=c。這個作圖問題至少由兩種解法,一種是《幾何原本》里給的,另一種是英國著名數學家哈代給的。另外本書主要是講平面作圖的,不涉及空間作圖。特別是空間作圖有一些地方是本質上不同于平面作圖的,比如平面作圖中的點和線都是真實可作的,而空間作圖中的平面、球面只要是能確定下來就算是作出來了。空間作圖也有很多值得研究的問題,正多面體就是很典型的例子。

  現在市面上有一些書完全是人云亦云,沒有什么新意,而本書雖然篇幅不大,包括后記在內只有221頁,內容卻很豐富,其中很多作法是作者的獨創。為了找好平衡,也為了避免引起讀者的“不快”,除個別問題外,作者都沒有給出相應的證明。但作為讀者,僅僅停留在“照貓畫虎”的階段顯然不行。希望有心的讀者不但給出書中作法的證明,還能在該書的啟發下再上層樓,創造出新的作法,提出并解決新的問題。但這里說的解決新問題,不應當包括類似古希臘“三大作圖問題”這樣已經被證明是無法尺規作出的問題。

  這本有趣的書,值得閱讀。



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3 蔣迅 李毅偉 史曉雷

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