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魔方和群論 精選

已有 5911 次閱讀 2019-2-10 23:33 |系統分類:觀點評述科学新闻

魔方是廣大人民群眾喜聞樂見的智力玩具,無數人沉浸其中,廢寢忘食,癡迷不已。但是絕大多數魔方愛好者通過識別模式,運用記憶的口訣來解魔方,對于口訣如何得來,如何創造新的訣竅并沒有深入思考。這里,我們希望能夠用魔方來揭示其背后更加普適的規律,從而可以將其思想深化和推廣,應用于更加復雜的場景。我們主要用群論來進行探討。


群論本質上是描述大自然中的對稱性,探究各種變換中存在的內在結構。群論是現代數學不可或缺的工具,更是現代物理的理論基礎。但是群論相對抽象,難以琢磨,比較難以入門。魔方這一游戲足夠精巧,能夠反映出群論大部分的思想,同時也足夠復雜,使得群論能夠得以運用。因此,通過深入思考魔方就可以便捷地領悟到群論的要義。




群論的基本概念

一個群(Group)由集合G和乘法算子*構成,滿足:

1.封閉性(closure)640?wx_fmt=gif

2.結合律(associative)640?wx_fmt=gif

3.單位元(identity element)640?wx_fmt=gif

4.逆元(invrese element)640?wx_fmt=gif


令S是群G的子集,如果G中的任意一個元素都可以表示成S中元素及其逆元的有限乘積,則我們說S生成(generate)了G。由S生成的子群記成640?wx_fmt=gif。一個群G被稱為是循環群(cyclic),如果存在一個元素640?wx_fmt=gif,滿足640?wx_fmt=gif


一個群(G,*)作用(action)在一個非空幾何A是一個映射 640?wx_fmt=gif,給定一個元素640?wx_fmt=gif, 得到A的另外一個元素,記為640?wx_fmt=gif,滿足下列兩個條件:

1.640?wx_fmt=gif

2.640?wx_fmt=gif

如果G作用在集合A上,那么640?wx_fmt=gif軌道(orbit)是集合640?wx_fmt=gif。如果群作用只有一條軌道,我們說群作用是傳遞的(transitive)。


群中兩個元素640?wx_fmt=gif被稱為彼此共軛(conjugate),如果存在一個元素640?wx_fmt=gif,滿足640?wx_fmt=gif。群(G,*)的子集H被稱為是子群(subgroup),如果(H,*)構成群。子群N被稱為是G的正規子群(normal subgroup),640?wx_fmt=gif,如果N在共軛作用下不變,640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif是兩個群,它們的直積640?wx_fmt=gif成群,乘法定義如下:640?wx_fmt=gif 640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif是兩個子群,640?wx_fmt=gif半積,如果

1. 640?wx_fmt=gif

2.640?wx_fmt=gif,這里640?wx_fmt=gif是A的單位元;

3.640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif是A的正規子群。




對稱群

n個字母排列(permutation)在復合(composition)下構成n階對稱群,記成640?wx_fmt=gif。例如640?wx_fmt=gif

640?wx_fmt=gif

一個k-輪換640?wx_fmt=gif是對稱群中的一個元素, 640?wx_fmt=gif,滿足640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif支集(support)為640?wx_fmt=gif。如果j不屬于支集,640?wx_fmt=gif,那么640?wx_fmt=gif。兩個輪換640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif被稱為是分離的(disjoint),如果它們的交集為空。每個2-輪換被稱為是一個對換


任何一個排列可以分解成分離的輪換之積。例如,

640?wx_fmt=gif,

可以分解為輪換之積 640?wx_fmt=gif。每個k-輪換可以被分解成對換之積,640?wx_fmt=gif。由此所有的對換生成整個對稱群640?wx_fmt=gif


任意一個置換640?wx_fmt=gif可以被分解成對換之積,如果有奇數個對換,那么640?wx_fmt=gif,被稱為是奇置換;如果有偶數個對換,那么640?wx_fmt=gif,被稱為偶置換。640?wx_fmt=gif所有的偶置換構成一個正規子群,記為640?wx_fmt=gif,被稱為是交錯群。任意一對對換可以由一系列3-輪換生成,因此,所有的3-輪換生成了交錯群。



魔方狀態表示

640?wx_fmt=png

圖1. 魔方(Rubik's Cube)的初始狀態


如圖1所示,魔方整體是一個立方體,被分成640?wx_fmt=gif共27個小立方體,每個小立方體小塊被稱為“塊”(cubie)。中心的立方體小塊外面看不到,可以忽略不計。魔方表面被分成54個小正方形,帶有不同的顏色,每個小正方形被稱為一個“面”(facet)。魔方整體的6個側面記為頂面Up,底面Down,左面Left,右面Right,前面Front和后面Back。在初始狀態,6個側面內所有的面帶有相同的顏色,對應的顏色為白色,黃色,綠色,藍色,紅色和橙色。魔方的26個立方體小塊中,有8個角塊,12個棱塊和6個中心塊。每個角塊有3個面,每個棱塊有兩個面,每個中心塊有1個面。在操作中,我們一直固定6個中心塊的位置。


魔方的每個側面可以整體轉動,順時針轉動90度的操作被稱為是基本操作,依次記為640?wx_fmt=gif,逆時針轉動90度的操作為基本逆操作,記做640?wx_fmt=gif。一系列基本操作和基本逆操作的復合構成一個操作(operation),所有操作構成的群被稱為是魔方群 (Rubik's Cube Group),記成640?wx_fmt=gif魔方群640?wx_fmt=gif的結構是我們研究的主要問題之一。


我們將魔方拆開,再重新組裝回去,所有的角塊和棱塊的位置被打亂。同時每一角塊的三個面的順序也被旋轉,每個棱塊的兩個面也被顛倒,如此得到了魔方的一個狀態(state)。所有的狀態構成魔方的狀態空間,記為640?wx_fmt=gif。魔方操作群640?wx_fmt=gif作用在魔方狀態空間640?wx_fmt=gif上:如果一個操作640?wx_fmt=gif,將魔方的一個狀態640?wx_fmt=gif變換成另一個狀態640?wx_fmt=gif,則我們記為 640?wx_fmt=gif,并且我們稱兩個狀態 640?wx_fmt=gif在群640?wx_fmt=gif作用下彼此等價。狀態空間640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif的群作用分解為不同的等價類,每一個等價類被稱為是一條軌道(orbit)。初始狀態所處的軌道被稱為是合法軌道,合法軌道中的每個狀態被稱為是合法狀態。如何判定一個狀態是否合法,也是我們需要回答的問題。


640?wx_fmt=png

圖2。 角塊上的位置標記。


為了精確描述魔方的狀態,我們將魔方的54個面進行位置標記。在魔方群的作用下,6個中心塊上的面位置不動,因此我們只需標記余下48個面。魔方群的每個操作可以被等價地表示成1到48的一個排列,即對稱群640?wx_fmt=gif中的一個元素。這種表示雖然信息完全,但是非常不直觀。


另外一種更為直觀的方法是將角塊和棱塊進行位置標記。如圖2所示,對于每個角塊我們任意選擇一個面寫上位置序號,共有8個角塊從1到8排列。


640?wx_fmt=png

圖3. 棱塊上的位置標記。


如圖3所示,對于每個棱塊,我們任意選擇一個面寫上位置序號,共有12個棱塊從1到12排列。我們將初始狀態定義的標記方式記為魔方坐標系,在操作中,魔方的角塊和棱塊在變動,但是魔方坐標系保持不動。


假設640?wx_fmt=gif是魔方群中的一個操作,將魔方的一個角塊映到了魔方坐標系中的

某一個角塊的位置,這樣操作640?wx_fmt=gif產生角塊的一個排列,得到640?wx_fmt=gif中的一個元素640?wx_fmt=gif;同時640?wx_fmt=gif將魔方中的每一個棱塊變換到魔方坐標系中的某一個棱塊的位置,如此得到棱塊的一個排列,表示成640?wx_fmt=gif中的一個元素640?wx_fmt=gif。這兩個排列640?wx_fmt=gif描述了角塊和棱塊的位置變化,但是沒有反映每個角塊或棱塊“定向”(orientation)的變化:每個棱塊的兩個帶顏色的面是否互換,每個角塊三個帶顏色的面是否發生了旋轉。


640?wx_fmt=png

圖4。 定向標記。


如圖4所示,我們為每個面添加另外一種標記,稱之為定向標記。考察每個角塊,帶有位置標記的面上定向標記為0,另外兩個面上標記為1和2,使得角塊定向標記為{01,2}的三個面順時針排序。同樣,考察每個棱塊,帶有位置標記的面上定向標記為0,另外的面上標記為1。我們用向量640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif來表示角塊的定向。考察在魔方坐標系中的第i個角塊,記為640?wx_fmt=gif。假設在目前狀態中,640?wx_fmt=gif被魔方的第j個角塊640?wx_fmt=gif所占據。640?wx_fmt=gif的某個面占據640?wx_fmt=gif的第0個面,

640?wx_fmt=gif等于640?wx_fmt=gif的這個面上的定向標記。(換言之,如果640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif帶有位置標記的面彼此重合,那么640?wx_fmt=gif為0;如果640?wx_fmt=gif需要順時針旋轉120度才會使得帶位置標記的面重合,那么640?wx_fmt=gif為1;如果640?wx_fmt=gif需要順時針旋轉240度才會使得帶位置標記的面重合,那么640?wx_fmt=gif為2。)同樣,我們用向量640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif來表述棱塊的定向。考察在魔方坐標系中的第i個棱塊,記為640?wx_fmt=gif。假設在目前狀態中,640?wx_fmt=gif被魔方的第j個棱塊640?wx_fmt=gif所占據。640?wx_fmt=gif的第0個面被640?wx_fmt=gif的某個面占據,640?wx_fmt=gif等于640?wx_fmt=gif的這個面上的定向標記。(等價的,如果640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif帶有位置標記的面彼此重合,那么640?wx_fmt=gif為0;否則,如果640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif帶有位置標記的面彼此不重合,那么640?wx_fmt=gif為1。)由此,我們用4元組來表述魔方的一個狀態:


640?wx_fmt=gif




合法狀態的必要條件

假設640?wx_fmt=gif是魔方群中的一個操作,640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif。每個基本操作都是一個角塊4-循環和一個棱塊4-循環的乘積。例如順時針旋轉右側面,640?wx_fmt=gif。每個4-循環可以分解成3個對換(2-循環),因此,640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif的奇偶性相同,即640?wx_fmt=gif


我們考察角塊定向的變化。假設640?wx_fmt=gif作用在初始狀態,得到最終狀態為640?wx_fmt=gif;另外一個操作640?wx_fmt=gif,作用在初始狀態所得到的狀態為640?wx_fmt=gif。那么,操作640?wx_fmt=gif作用在初始狀態所得到的最終狀態滿足等式

640?wx_fmt=gif

這里640?wx_fmt=gif代表兩個排列的乘積(復合),640?wx_fmt=gif代表排列640?wx_fmt=gif作用在向量640?wx_fmt=gif上,即640?wx_fmt=gif將向量640?wx_fmt=gif的分量重新排列。


比如,我們令h為基本操作,即魔方群的生成元,得到如下運算規則:


640?wx_fmt=png

我們看到640?wx_fmt=gif的各個分量之和與640?wx_fmt=gif的各個分量之和在模3下同余;640?wx_fmt=gif的各個分量之和與640?wx_fmt=gif科学新闻的各個分量之和在模2下同余。


由此,我們得到一個狀態640?wx_fmt=gif是合法態的必要條件是:

  1.  640?wx_fmt=gif ,角塊和棱塊排列的奇偶性相同;

  2. 640?wx_fmt=gif,角塊的總扭轉為0;

  3. 640?wx_fmt=gif,棱塊的總翻轉為0.


如果一個狀態640?wx_fmt=gif滿足合法性的三個必要條件,那么是否存在一個魔方群中的操作640?wx_fmt=gif,將初始狀態變換成640?wx_fmt=gif?為此我們構造一些基本操作序列。



交換子和共軛 Commutator & Conjugate

魔方群非常龐大,我們需要尋找符合人類直覺的關鍵幾個操作:3個角塊位置(position)的輪換(cycle),3個棱塊位置的輪換,兩個角塊定向(orientation)的旋轉(twist),兩個棱塊定向的翻轉(flip)。這幾個關鍵復雜操作由簡單操作依照兩條法則合成:交換子(commutator)和共軛(conjugate)。交換子可以生成3-輪換,共軛可以實現坐標變換。


交換子 魔方群一個非阿貝爾群,給定兩個操作640?wx_fmt=gif,其交換子衡量了可交換性,640?wx_fmt=gif。如果交換子等于單位元,則兩個操作可以交換。假設操作640?wx_fmt=gif影響了很多角塊和棱塊,640?wx_fmt=gif也影響了很多角塊和棱塊,如果一個角塊640?wx_fmt=gif只被640?wx_fmt=gif作用,不被640?wx_fmt=gif所影響,(或者640?wx_fmt=gif只被640?wx_fmt=gif作用,不被640?wx_fmt=gif所影響),那么角塊640?wx_fmt=gif經過交換子640?wx_fmt=gif操作后,位置和定向會被復原。同樣的結論對于棱塊也成立。如此來看,雖然操作640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif各自影響了很多角塊和棱塊,如果它們沒有共同影響的角塊或者棱塊,那么640?wx_fmt=gif為單位元,所有的角塊和棱塊復原。如果操作640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif共同只影響了一個角塊640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif將角塊640?wx_fmt=gif轉到了640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif將角塊640?wx_fmt=gif變換到640?wx_fmt=gif,那么交換子640?wx_fmt=gif是一個3-輪換640?wx_fmt=gif


共軛 640?wx_fmt=gif關于640?wx_fmt=gif的共軛定義為640?wx_fmt=gif,其作用相當于群中的坐標變換,我們先用640?wx_fmt=gif將魔方變換到新的坐標系下,然后在新坐標系下進行640?wx_fmt=gif操作,然后用640?wx_fmt=gif返回到初始坐標系。例如640?wx_fmt=gif是3-輪換640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif映射到640?wx_fmt=gif,那么640?wx_fmt=gif給出3-輪換640?wx_fmt=gif



角塊位置3-輪換

我們下面用交換子和共軛來構造關鍵操作。首先,我們構造角塊3-輪換。


640?wx_fmt=png

圖5. 操作640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif,得到640?wx_fmt=gif。同時,640?wx_fmt=gif。由此640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif共同影響640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif映到640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif映到640?wx_fmt=gif。如圖6所示,交換子給出3-輪換,640?wx_fmt=gif

640?wx_fmt=png

圖6. 交換子640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif變換角塊640?wx_fmt=gif,與640?wx_fmt=gif的共軛得到3-輪換,640?wx_fmt=gif,如圖7所示。


640?wx_fmt=png

圖7. 640?wx_fmt=gif角塊位置3-輪換



棱塊位置3-輪換

我們將和Front面、Back面中間的一層順時針旋轉90度,這一操作記為640?wx_fmt=gif

640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif,,640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif共同影響棱塊640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif,交換子為640?wx_fmt=gif,如圖8所示。經過化簡,我們將640?wx_fmt=gif分解成基本操作的序列,得到等下操作序列640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=png

圖8. 640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif關于640?wx_fmt=gif的共軛等于640?wx_fmt=gif,如圖9所示。

640?wx_fmt=png

圖9. 640?wx_fmt=gif棱塊3-輪換



角塊定向旋轉

640?wx_fmt=png

圖10。 符號定向標記。


為了考慮角塊和棱塊定向的變換,我們需要使用更為復雜的標記法,如圖10所示。在初始位置,魔方的頂(底、左、右、前、后)側面(side)的每個面(facet)都標記成U(D、L、R、F、B)。每個角塊可以由其所有面(facet)的標記有序組來表示。例如,第一個角塊640?wx_fmt=gif可以被表示成640?wx_fmt=gif


每個操作被表示成循環之積,例如640?wx_fmt=gif。例如2-循環640?wx_fmt=gif,意味著dfr的底面(前面、右面)映成dbl的底面(背面、左面)。


640?wx_fmt=png

圖11. 640?wx_fmt=gif


如圖11所示,640?wx_fmt=gif將ufl,dlf,ubr,fl,br映成lfd,rdf,bdr,df,dr。640?wx_fmt=gif關于640?wx_fmt=gif的共軛640?wx_fmt=gif,如圖12所示,

640?wx_fmt=png

圖12. 640?wx_fmt=gif


考察操作640?wx_fmt=gif,那么640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif共同影響了角塊ufl和ubr,它們的交換子具有非常簡潔的形式

640?wx_fmt=gif,

即ufl逆時針旋轉120度,ubr順時針旋轉120度,如圖13所示。


640?wx_fmt=png

圖13. 角塊定向旋轉操作。640?wx_fmt=gif


我們可以用共軛的方法實現任意一對角塊定向的旋轉。例如,

640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif將urf映射成bru,因此共軛算子作用后得到 640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=png

圖14. 角塊定向旋轉操作


經過共軛操作,我們可以實現任意兩個角塊定向的旋轉,一個順時針,另外一個逆時針旋轉120度。

經過共軛操作,我們可以實現任意兩個角塊定向的旋轉,一個順時針,另外一個逆時針旋轉120度。



棱塊定向翻轉

640?wx_fmt=png

640?wx_fmt=png

圖15. 640?wx_fmt=gif


圖15詳細解釋了640?wx_fmt=gif,上面幀顯示了640?wx_fmt=gif誘導了中心塊的輪換640?wx_fmt=gif, 頂層帶定向角塊的4-循環640?wx_fmt=gif,頂層兩個棱塊加上定向構成4-循環640?wx_fmt=gif;下面幀顯示了帶定向棱塊的8-循環640?wx_fmt=gif,由此我們得到


640?wx_fmt=gif,

如圖16所示,4次冪消去4-循環,我們得到


640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=png

圖16. 640?wx_fmt=gif


同理,如圖17所示,640?wx_fmt=gif

640?wx_fmt=png

圖17. 640?wx_fmt=gif


640?wx_fmt=png

圖18. 棱塊定向翻轉640?wx_fmt=gif


兩種操作復合之后,我們得到非常簡潔的棱塊定向翻轉公式:640?wx_fmt=gif


經過共軛操作,我們可以實現任意兩個棱塊定向的同時翻轉。



合法狀態的充分條件

給定一個魔方狀態640?wx_fmt=gif,滿足:

  1.  640?wx_fmt=gif ,角塊和棱塊排列的奇偶性相同;

  2. 640?wx_fmt=gif,角塊的總扭轉為0;

  3. 640?wx_fmt=gif,棱塊的總翻轉為0.

我們來構造魔方群中的一個操作640?wx_fmt=gif,將初始狀態變換成640?wx_fmt=gif


我們分4步來構造,這種構造方法實際上給出了解魔方的一種算法。


1. 角塊位置歸位 如果640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif同時為奇排列,我們增加一步基本操作R。由此不妨假設640?wx_fmt=gif640?wx_fmt=gif同時為偶排列。

640?wx_fmt=gif分解成一系列彼此不交的循環(cycles),將循環分解成一系列對換(swaps);將所有對換配對,每對對換可以用3-循環生成。因為我們已經構造了所有的角塊位置3-循環(圖7),因此我們可以用一系列角塊位置3-循環將640?wx_fmt=gif歸位成初始狀態,并且保持所有棱塊的位置和定向不變。


2. 棱塊位置歸位 我們將640?wx_fmt=gif分解成3-循環的乘積,因為我們已經構造了所有的角塊位置3-循環(圖9),因此我們可以用一系列棱塊位置3-循環將640?wx_fmt=gif歸位成初始狀態,并且保持所有角塊的位置和定向不變。


3. 角塊定向歸位 我們將640?wx_fmt=gif中非0的項配對,每對中包含一個+1項和一個+2項,然后用角塊定向旋轉操作及其共軛(圖14)將每一對角塊的定向同時歸位。這種操作不會改變角塊和棱塊的位置,也不會改變棱塊的定向。


4.棱塊定向歸位 我們將640?wx_fmt=gif中非0的項配對,每對中包含兩個+1項,然后用棱塊定向翻轉操作及其共軛(圖18)將每一對棱塊的定向同時歸位。這種操作不會改變角塊和棱塊的位置,也不會改變角塊的定向。


經過上面4不操作之后,我們將魔方變換到初始狀態。由此,我們證明了魔方的基本定理。


定理(魔方基本定理)魔方狀態640?wx_fmt=gif可解的充分必要條件是:

  1. 1. 640?wx_fmt=gif ,角塊和棱塊排列的奇偶性相同;

  2. 2.640?wx_fmt=gif,角塊的總扭轉為0;

  3. 3.640?wx_fmt=gif,棱塊的總翻轉為0。



魔方群的結構

通過以上分析,我們看到魔方群可以分解成位置變換群,和定向變換群的半積(semi-product)。位置變換群可以分解成角塊位置變換群,棱塊位置變換群和的640?wx_fmt=gif直積,這是因為角塊位置的排列和棱塊位置的排列奇偶性相同;定向變換群可以分解成角塊定向變換群和棱塊定向變換群的直積。


定理(魔方群結構)魔方群可以分解為:


640?wx_fmt=gif


角塊位置3-循環生成了640?wx_fmt=gif,棱塊3-循環生成了640?wx_fmt=gif,角塊定向旋轉生成了640?wx_fmt=gif,棱塊定向翻轉生成了640?wx_fmt=gif


1981年7月,Thistlethwaite 給出了魔方群的另外一種分解方法,將魔方群分解成系列嵌套子群,640?wx_fmt=gif

640?wx_fmt=gif

Thistlethwaite的思想就是逐步降解魔方所處的群到更小的子群,最后到單位子群,也即還原狀態。Thistlethwaite的思想已經被消化成人類可用的算法,52步之內可以解出所有狀態。


上帝之數

我們看到,如果將魔方拆解,重新組裝,總共會有 640?wx_fmt=gif 多種狀態,其中只有12分之1是合法狀態。那么我們最少需要多少步操作可以解任意狀態的魔方?這個最少步數被稱為是“上帝之數”(God Number)。首先第一步我們可以選擇{U,D,L,R,F,B}及其逆操作,共12種可能。第二步,我們有11種可能性;以后每步至多有11種可能性,因此n步之后,操作序列所能達到的狀態至多只有640?wx_fmt=gif果我們希望n步操作覆蓋所有狀態,我們得到不等式

640?wx_fmt=gif

因此得到640?wx_fmt=gif。上面Thistlethwaite的方法證明了上帝之數不大于52步。經過谷歌的35計算機年的暴力計算,最終于2010年7月證明三階魔方的上帝之數正是20HTM(Half Turn Metric)。有一種很著名的最遠狀態,被稱作SuperFlip,其打亂公式為:

640?wx_fmt=gif

科学新闻SuperFlip需要至少20步才能被解決。


640?wx_fmt=png

圖19。 SuperFlip。



總結

這里我們應用群論的基本知識來證明魔方的可解性,其基本思想是將魔方群分解成較為簡單的子群的乘積,然后構造每個子群的生成元。生成元的構造過程中主要使用了交換子和共軛的方法,化繁為簡。這種方法具有很強的普適性,可以直接推廣到其他復雜情形。

原文發布在【老顧談幾何】公眾號 2018年7月3日



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